我在意的事物 ; 數學

如果你/妳沒有讀懂公理化的點集拓樸最重要的一點,

定義OPEN SET'S =定義 TOPO =定義連續性(映射)

那這篇文章可能對你/妳有點莫名其妙;如果你/妳已經明白了便會看來太自明.
但我自認是好的說書人,要當教授的人,當然要小事化大,大事化神地講故事了.

所以要開始了!!

在很久很久之前,還未有數學和物理之前.
還在經院哲學的年代,或更早之前在柏拉圖學院的年代.
(資料準備不足,等我要找到出版社時再訂正吧XDD)
世上的知識只有從推理和理性可以得知的年代,
哲學家或又名賢者們,最經常吵的事,莫過於到底世界是有沒有希格斯粒子XDD,
咳咳..,當時的名字是賢者之石!?
不是啦,是在吵世界的本質是連續不止的流而變化出來,還是由基本成份的"原子"所組合成.
當然,正如現在的弦論和各種量子重力的備胎XDD,
全都是公有公理,我有我理,
沒有人全錯,沒有人全對,
而且也不知道有實驗這種省腦力的方法去檢驗推理結果>//<....
但就我們今天要談的拓樸而言,還有接下來物理學和微積分的開始,
連續模型是絕優勢的.
而支持世界的本質是連續不止的流而變化出來的幻象的精神病者們,
最有力的成果和工具便是所有事物都是連續地,持續地變化的.
當然這忽略了很多自然現象才得出的優美句子是不太實在的.
但同時這成就了很多有意思的理論的根基(靈感),
流體力學(特別是Euler的方程式之一),
微積分(至少是牛頓的流數法,而不是無限小三角形的路子)
當然這樣說過去的,多少會史實不符,
但連更大的史實不符都不會生氣的現代人,應該是不會介意我的亂說小故事XDDD.


所以從我們真的用連續性去理解世界的時候,特別是物理學時.
拓樸便己經在我們心中準備要出生了.
我再說一次

定義OPEN SET'S =定義 TOPO =定義連續性(映射)

待續,太累了............

沒錯,這標題沒錯,

不是什麼是HODGE 猜想~從函數空間開始講起 .

因為根本沒有人明白HODGE猜想的全相,根本無從可談.
今天我打算是用HODGE 猜想作動機來介紹近代數學中的一個重要CONCEPT:

Function space

或許沒有讀者明白HODGE猜想裏面的定義和奇怪的用語,但不重要,因為我也不明白.
至少我不明白那些重量級的代數TOPO系統和代數幾何的用語.
但我還是有些話要說,
因為至少我問過丘成桐近代幾何大師之一(親口!!面對面!!平坐!!!!我正面,他側身!!!!!!)XDDDD.

起緣是我在為了廣義相義論,不知死活地亂看微分幾何的書時,
正在學微分形式, 正要學其中一個大定理de RAHM 同構定理 特別是以他本人的書來學,
事倍功半,因為我對PDE根本一無所知,Sobolev space, distribution ,Generalized_functions.
而這本書用SHEAF 的成份很少,而用PDE成份很多.

完全是自找苦吃

因為如果用多一點代數,搞不好我對那些推理的信心會多一點,輕輕的滑過去.

 但我對分析的推理有一種天生的小心和怕怕,很多地方停很久,或查書,
不太有動力看過去.
但換了BOTT and TU,看書的感覺便回來了,至少可以看過去一次,雖沒有完全得到所有PROOF,
但至少對代數TOPO在做什麼有一點點了解.

快到今天的引子HODGE猜想了,
因為BOTT and TU前半部花了很大心力在代數TOPO一個很重要的基本定理Poincare duality,
因為我就算讀不動他本人的書,我還是知道這本書後面在講些什麼,
hodge 定理,特別是因為伍鴻熙  花了很大力氣去解釋這個定理之後
(他的緊黎曼曲面引論,和黎曼幾何选讲),
對這個定理的故事也算上略知一二.

所以流形上的topo都可以用調和形式(很特別的FUNCTION,它是滿足在圓周上的平均值等於圓心的值的特別玩意)去定位,

這件事是是十分有趣的.
有空再細講這件事,當我真的明白了之後,用這個感覺, 今天以講故事為主XDD

基於這兩個定理Poincare duality和hodge 定理,
我們便可以很自然地想一下,如果A=B,FOR它們的大結構,

Poincare duality便是說幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY"大結構上同構到(再看一下這個)

用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY",

而hodge 定理便是說流形上的topo都可以用調和形式(很特別的FUNCTION,它是滿足在圓周上的平均值等於圓心的值的特別玩意)去定位,其中定位是指小結構上的強烈近距大特寫XDDD,所以對用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY"的定理(=理解)

那任何有自由之心這項強大道具加持的人,都會去問,
那上面的大結構同構Poincare duality了,那小結構的hodge 定理呢?
會不會在小結構上幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY"也有某種 hodge 定理?

有時數學或搞研究便是那麼簡單便可以問中好問題了,
因這為便是一半的HODGE猜想了,那些令人看不懂的用語去了哪???
不是要用代數topo和代數幾何的大工具才能講嗎?

唔~~
某意義上這也是我為什麼要說這是一半的猜想而已的原因之一,

我還要講一下才到goal呢!!

現在要稍微講一下小結構是什麼意思(不是定義)至少在我行文之中的意思,
現在請看圖聽故事,
所謂的小結構of 流形上的 topo
在很粗略又失真的說法之下可以想成是小/子流形 of 流形本身
1 , 2 , 3
圖中的特別的細線都是代表空心甜甜圈中的小/子流形
(封閉的迴路,又或者簡化為圓也很勉強地可以....)
現在請你/妳的注意放在2上面 ,他/她在圖中特別標上的兩線  ,
實線和另一條是不(homolgy)等價的,也就是在幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY"之中

其代表的小結構不相同,ex來了XDD請從這些圖去解釋.

如果要真的操作或計算幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY" 或用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY",
那便要用上代數TOPO的大工具了,而且也要用上微分幾何或代數幾何的東西~~.


而hodge 定理定理是說這些小結構 OF 用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY"都是
可以由調和形式(很特別的FUNCTION,它是滿足在圓周上的平均值等於圓心的值的特別玩意),
去唯一代表(也就是之前所說定位的意思了XDD),
那在用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY"上面小結構們是可以用很特別的東西調和形式(很特別的FUNCTION,它是滿足在圓周上的平均值等於圓心的值的特別玩意)來唯一代表,
而在幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY"裏面的小結構又能用怎樣的特別玩意來對應??

這是我的思路和搞代數幾何的人有不同的方向的開始

代數幾何的人在意的是用代數方式去造出來的幾何,
也就是多項式的零點.
所以他/她們問的方式是"那些小結構是不是代數幾何的物件",
但我才認為神才不會那麼在意代數!
至少我當時是這樣想....
加上我不喜歡代數手法搞幾何的某一面,只要同構存在不問幾何含意

當時我不知道這是HODGE猜想,也就是想在Poincare duality下的hodge 定理,
當時我只是努力在找在幾何上的調和形式的對應物,
因為如果連對應物都不知道,又怎樣進行下一個動作<show that>.
我當時回到hodge 定理的proof上面,我是看緊黎曼曲面引論,和黎曼幾何选讲.
所以我的認知是用Riemann本人的思路,變分法,特別是著名的Dirichlet_principle.
所謂的調和形式是某個泛函的Critical point,
那流形的子結構呢?
也就是幾何的子結構呢?
在二維的情形, 這是很容易便連想到子流形,特別是最標準的子流形,
至少在TORUS上是最小的圓,而且因為一些調和形式在這個情形是和這些圓有分不開的連結,
所以很大膽,武斷地認為是極小子流形了,
因為我的幾何知識實在不多,找不到更對應良好的CONCEPT,
我認定這個從MINIMAL SURFACE推廣上來的CONCEPT是調和形式的對應.
因為這個東西也是由一個functional ~volume functional的Critical point來定義.

所以我的思路的變成Function space之間的DUAL,
不同Function space(曲面和流形也是可以用FUNCTION來講)的泛函的Critical point之間的對應,
這是一個很美的想法,把兩個不同的Function space用幾何和TOPO來連結起來,

好比兩個獨立的沙灘在月滿退潮時,由清亮明白的月光照出一條相通往的銀色小路.....

我們原本是不明白沙灘的,但有了這條小路之後,我們可以多多往返,
慢慢便能明白其中的美妙.

回到正文一開始,我在丘成桐來成大數學系給算子幾何的演講時,在散會時,問他這個笨想法,
他說這就是HODGE猜想,其實在他用口頭告訢我之前,我在他的幾何書上面便看到這個結果,
James Harris Simons,ABOUT 他.

所以這個完全是分析和幾何的混合思路會回到代數空間上.....

這是我只有一種完全被震懾不能言語的感覺,

而且這個思路我很明白是沒有看代數空間的任何結果去想的,因為是我自己的....

原來神是喜愛代數的......

而也有一個很神奇的事,我在打這幾句話的同時,意識到Function space之間的DUAL和代數空間的RELATION是存在的.........

看這

起點
由於有學長不太明白的的動機和目的,那必需在這再次申明.
這才能令我不會坐着等死.

我搞這個BLOG主要目的,是要讓大眾看到數學和搞數學的實況,

還有近代數學是什麼玩意,

由於也有其他談數學的BLOG,那我這個看來是多一個卡位子而已.
但其實不是的,因為我看到的談數學的BLOG,都是內行人自說自話,
而且講得很抽象,加上我覺得自己的文風不算難懂,有時更會太白話,一點文化都沒有一樣.
所以還是有其力量和必要性所在.
也別說數學品味上的高下了,這己經太主觀.

但我還有一個更急切的目的和必要性,

便是工作和錢,

因為我還欠成大90000元學雜費,某部份是大環境(的百分比)和同學去向(財工,管理)的問題,
但主要責任還是在自己身上,
因為我都修太多數學系本科的課,到大三更是修了好幾門研究所的辛幾何,代數拓樸....
在很幸福地,幸幾何的老師認為我學得不錯,給我九十多分大三上下學期都是,
但代數拓樸的老師認為我上台陳述太含糊不清,
給我四十分了(大三下)(雖然我是課上唯一會算例子的人....),
還有機率因為想得太簡單,只看定理沒算EX的長長組合洪流XDDD,便給當掉了(大三上)
這樣便只有部份補助,便有積欠下來.
再加上某學期,是找不到(或給基金調度中)公告,又欠一學期.
到大四上便欠了60000多,
而到大四下,現在才知道大家的課業一日千里XDDD
我成績不變,但名次掉了十幾名,從7~8掉到去二十名,
該死的計價方式,比股市還要OPD CSQF HAPI (會的人,便知道的),
在大家的進步中,沒有太大進步的我XDDD
便只有住宿費XDD
雖然我是很想吐糟,這是那們子的追求卓越,
去做難的事人要受到拍屁股和餓肚子,
去吃肥柿子的,便是進步神速XDDD,要好好加薪XDD.
但再說下去便到政冶去了,我還是信守我的諾言,不談政冶好了XDDD.

講了那麼多,就是希望大家知道我不是一個太混的學生,
我沒有到的課,在大學加起手指腳指數得完.XDDDDDDDDDDDD

我不是因為沒有好好讀書而拿不到補助,
我是因為太好奇而受訓XDD.
而且我是僑生也有一個不太妙的地方,
我媽一直拿不到我的清寒身分證XDD,在香港的社會福利局說我不在香港不能給XDDDD,
他XX,我老媽都這個德性了,難道兒子是李先生嗎??
這只能算是tragedy,無力回天,因為我一直給台灣這邊說我為何拿不到!!!
天!!!!
我是連飯都吃不了的(在大三上,之後有一點收入因為....),
還要給你/妳清寒身分證XDDDD,這己經是喜感十足的場景了......

但再說下去便到政冶去了,我還是信守我的諾言,不談政冶好了XDDD.

所以很多錢我都申請不了,雖然我看到有人拿I PHONE的還是申請成功XDDDDD
而我是拿2007最新手機SONY WALKMAN
(還要是我哥看我要來台灣,把自己在用的送我,人生首台手機)的人,被認為資格不合XDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

 

所以我很需要工作機會,單對單,一對多教學,演講我會的數學,我都接!!!!

只要不去干擾我和給我所謂的進度問題,

你們可能覺得自己的小孩很天材,但有時不是資質的問題,

是基本功的問題,基本計算或定義都不懂,怎樣趕進度???

 

當然如果你/妳要直接捐助我,我是開心的,完全不會有所謂自尊的問題,

因為我會認為你/妳們是看得起我,認為我是有用的人.

至少是捐給我在想的數學^_^

 

 

http://www.its.caltech.edu/~matilde/course2010W.html

也許做夢是很沒"效用"的事,但如果沒有夢想又怎會有算術幾何,算術拓樸呢?
今天我很開心因為一個學姐來問我情況怎樣了,
在一輪會話之後,學姐很大氣地說幫我搞定台大首期學費的部份.
我真的沒想到在開始向大家請求幫助的頭幾天,便得到一個那麼大的進展.
雖然在幾小時之後,學姐告訴我還是調不出來,但那份心意真的打動了我,
如果人是需要幫忙時,真的會有人來幫忙,那怕是力量不多或不足,
有時我們的確會看到有錢人死守一分錢,那怕這一分錢不會佔他的財富的千分之一.
但可苦要看生命中的失落,而忽略豐盛的廣大呢?
測度是零的地方便不要太在意,這是真理!!
我會一直向大家請求幫忙的,因為我真的認知道]到自己是很無力,至少在金錢上面,
但合眾之力,我的大問題便成了小問題了.

有時,便是要做好自己的所有能做的,之後相信和去等,
看起很笨,但總比絕望而死好多了,
而且我也不是未有試過失望至死的感覺,不管是對我媽的問題,
我爸的無信,某個天秤座的SOPHIA.....
但我還是活下來了,而且還是笑著地搞數學.
現在只能拿出最大的努力和苦心去和成大溝通.

這時做夢便是最好的動力來源!!
雖然這個回答很不好,因為還是從功利去回答質問.
但今天便先原諒我吧.
這樣我可以介紹一個好有意思的東西了,可能有點老舊的新聞.
但未看過的人還是有的XDD,且讓我來賣弄一下新知巳吧.
看這,這真的很COOL.
有時候便是要試做一下白日夢和往不太聰明的路先走走看才看到機會.
希望這個CONCEPT真的能解放我們,我很期待什麼時候能拿來用!!