我在意的事物 ; 數學

如果你/妳沒有讀懂公理化的點集拓樸最重要的一點,

定義OPEN SET'S =定義 TOPO =定義連續性(映射)

那這篇文章可能對你/妳有點莫名其妙;如果你/妳已經明白了便會看來太自明.
但我自認是好的說書人,要當教授的人,當然要小事化大,大事化神地講故事了.

所以要開始了!!

在很久很久之前,還未有數學和物理之前.
還在經院哲學的年代,或更早之前在柏拉圖學院的年代.
(資料準備不足,等我要找到出版社時再訂正吧XDD)
世上的知識只有從推理和理性可以得知的年代,
哲學家或又名賢者們,最經常吵的事,莫過於到底世界是有沒有希格斯粒子XDD,
咳咳..,當時的名字是賢者之石!?
不是啦,是在吵世界的本質是連續不止的流而變化出來,還是由基本成份的"原子"所組合成.
當然,正如現在的弦論和各種量子重力的備胎XDD,
全都是公有公理,我有我理,
沒有人全錯,沒有人全對,
而且也不知道有實驗這種省腦力的方法去檢驗推理結果>//<....
但就我們今天要談的拓樸而言,還有接下來物理學和微積分的開始,
連續模型是絕優勢的.
而支持世界的本質是連續不止的流而變化出來的幻象的精神病者們,
最有力的成果和工具便是所有事物都是連續地,持續地變化的.
當然這忽略了很多自然現象才得出的優美句子是不太實在的.
但同時這成就了很多有意思的理論的根基(靈感),
流體力學(特別是Euler的方程式之一),
微積分(至少是牛頓的流數法,而不是無限小三角形的路子)
當然這樣說過去的,多少會史實不符,
但連更大的史實不符都不會生氣的現代人,應該是不會介意我的亂說小故事XDDD.


所以從我們真的用連續性去理解世界的時候,特別是物理學時.
拓樸便己經在我們心中準備要出生了.
我再說一次

定義OPEN SET'S =定義 TOPO =定義連續性(映射)

待續,太累了............

沒錯,這標題沒錯,

不是什麼是HODGE 猜想~從函數空間開始講起 .

因為根本沒有人明白HODGE猜想的全相,根本無從可談.
今天我打算是用HODGE 猜想作動機來介紹近代數學中的一個重要CONCEPT:

Function space

或許沒有讀者明白HODGE猜想裏面的定義和奇怪的用語,但不重要,因為我也不明白.
至少我不明白那些重量級的代數TOPO系統和代數幾何的用語.
但我還是有些話要說,
因為至少我問過丘成桐近代幾何大師之一(親口!!面對面!!平坐!!!!我正面,他側身!!!!!!)XDDDD.

起緣是我在為了廣義相義論,不知死活地亂看微分幾何的書時,
正在學微分形式, 正要學其中一個大定理de RAHM 同構定理 特別是以他本人的書來學,
事倍功半,因為我對PDE根本一無所知,Sobolev space, distribution ,Generalized_functions.
而這本書用SHEAF 的成份很少,而用PDE成份很多.

完全是自找苦吃

因為如果用多一點代數,搞不好我對那些推理的信心會多一點,輕輕的滑過去.

 但我對分析的推理有一種天生的小心和怕怕,很多地方停很久,或查書,
不太有動力看過去.
但換了BOTT and TU,看書的感覺便回來了,至少可以看過去一次,雖沒有完全得到所有PROOF,
但至少對代數TOPO在做什麼有一點點了解.

快到今天的引子HODGE猜想了,
因為BOTT and TU前半部花了很大心力在代數TOPO一個很重要的基本定理Poincare duality,
因為我就算讀不動他本人的書,我還是知道這本書後面在講些什麼,
hodge 定理,特別是因為伍鴻熙  花了很大力氣去解釋這個定理之後
(他的緊黎曼曲面引論,和黎曼幾何选讲),
對這個定理的故事也算上略知一二.

所以流形上的topo都可以用調和形式(很特別的FUNCTION,它是滿足在圓周上的平均值等於圓心的值的特別玩意)去定位,

這件事是是十分有趣的.
有空再細講這件事,當我真的明白了之後,用這個感覺, 今天以講故事為主XDD

基於這兩個定理Poincare duality和hodge 定理,
我們便可以很自然地想一下,如果A=B,FOR它們的大結構,

Poincare duality便是說幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY"大結構上同構到(再看一下這個)

用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY",

而hodge 定理便是說流形上的topo都可以用調和形式(很特別的FUNCTION,它是滿足在圓周上的平均值等於圓心的值的特別玩意)去定位,其中定位是指小結構上的強烈近距大特寫XDDD,所以對用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY"的定理(=理解)

那任何有自由之心這項強大道具加持的人,都會去問,
那上面的大結構同構Poincare duality了,那小結構的hodge 定理呢?
會不會在小結構上幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY"也有某種 hodge 定理?

有時數學或搞研究便是那麼簡單便可以問中好問題了,
因這為便是一半的HODGE猜想了,那些令人看不懂的用語去了哪???
不是要用代數topo和代數幾何的大工具才能講嗎?

唔~~
某意義上這也是我為什麼要說這是一半的猜想而已的原因之一,

我還要講一下才到goal呢!!

現在要稍微講一下小結構是什麼意思(不是定義)至少在我行文之中的意思,
現在請看圖聽故事,
所謂的小結構of 流形上的 topo
在很粗略又失真的說法之下可以想成是小/子流形 of 流形本身
1 , 2 , 3
圖中的特別的細線都是代表空心甜甜圈中的小/子流形
(封閉的迴路,又或者簡化為圓也很勉強地可以....)
現在請你/妳的注意放在2上面 ,他/她在圖中特別標上的兩線  ,
實線和另一條是不(homolgy)等價的,也就是在幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY"之中

其代表的小結構不相同,ex來了XDD請從這些圖去解釋.

如果要真的操作或計算幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY" 或用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY",
那便要用上代數TOPO的大工具了,而且也要用上微分幾何或代數幾何的東西~~.


而hodge 定理定理是說這些小結構 OF 用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY"都是
可以由調和形式(很特別的FUNCTION,它是滿足在圓周上的平均值等於圓心的值的特別玩意),
去唯一代表(也就是之前所說定位的意思了XDD),
那在用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY"上面小結構們是可以用很特別的東西調和形式(很特別的FUNCTION,它是滿足在圓周上的平均值等於圓心的值的特別玩意)來唯一代表,
而在幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY"裏面的小結構又能用怎樣的特別玩意來對應??

這是我的思路和搞代數幾何的人有不同的方向的開始

代數幾何的人在意的是用代數方式去造出來的幾何,
也就是多項式的零點.
所以他/她們問的方式是"那些小結構是不是代數幾何的物件",
但我才認為神才不會那麼在意代數!
至少我當時是這樣想....
加上我不喜歡代數手法搞幾何的某一面,只要同構存在不問幾何含意

當時我不知道這是HODGE猜想,也就是想在Poincare duality下的hodge 定理,
當時我只是努力在找在幾何上的調和形式的對應物,
因為如果連對應物都不知道,又怎樣進行下一個動作<show that>.
我當時回到hodge 定理的proof上面,我是看緊黎曼曲面引論,和黎曼幾何选讲.
所以我的認知是用Riemann本人的思路,變分法,特別是著名的Dirichlet_principle.
所謂的調和形式是某個泛函的Critical point,
那流形的子結構呢?
也就是幾何的子結構呢?
在二維的情形, 這是很容易便連想到子流形,特別是最標準的子流形,
至少在TORUS上是最小的圓,而且因為一些調和形式在這個情形是和這些圓有分不開的連結,
所以很大膽,武斷地認為是極小子流形了,
因為我的幾何知識實在不多,找不到更對應良好的CONCEPT,
我認定這個從MINIMAL SURFACE推廣上來的CONCEPT是調和形式的對應.
因為這個東西也是由一個functional ~volume functional的Critical point來定義.

所以我的思路的變成Function space之間的DUAL,
不同Function space(曲面和流形也是可以用FUNCTION來講)的泛函的Critical point之間的對應,
這是一個很美的想法,把兩個不同的Function space用幾何和TOPO來連結起來,

好比兩個獨立的沙灘在月滿退潮時,由清亮明白的月光照出一條相通往的銀色小路.....

我們原本是不明白沙灘的,但有了這條小路之後,我們可以多多往返,
慢慢便能明白其中的美妙.

回到正文一開始,我在丘成桐來成大數學系給算子幾何的演講時,在散會時,問他這個笨想法,
他說這就是HODGE猜想,其實在他用口頭告訢我之前,我在他的幾何書上面便看到這個結果,
James Harris Simons,ABOUT 他.

所以這個完全是分析和幾何的混合思路會回到代數空間上.....

這是我只有一種完全被震懾不能言語的感覺,

而且這個思路我很明白是沒有看代數空間的任何結果去想的,因為是我自己的....

原來神是喜愛代數的......

而也有一個很神奇的事,我在打這幾句話的同時,意識到Function space之間的DUAL和代數空間的RELATION是存在的.........

看這

起點
由於有學長不太明白的的動機和目的,那必需在這再次申明.
這才能令我不會坐着等死.

我搞這個BLOG主要目的,是要讓大眾看到數學和搞數學的實況,

還有近代數學是什麼玩意,

由於也有其他談數學的BLOG,那我這個看來是多一個卡位子而已.
但其實不是的,因為我看到的談數學的BLOG,都是內行人自說自話,
而且講得很抽象,加上我覺得自己的文風不算難懂,有時更會太白話,一點文化都沒有一樣.
所以還是有其力量和必要性所在.
也別說數學品味上的高下了,這己經太主觀.

但我還有一個更急切的目的和必要性,

便是工作和錢,

因為我還欠成大90000元學雜費,某部份是大環境(的百分比)和同學去向(財工,管理)的問題,
但主要責任還是在自己身上,
因為我都修太多數學系本科的課,到大三更是修了好幾門研究所的辛幾何,代數拓樸....
在很幸福地,幸幾何的老師認為我學得不錯,給我九十多分大三上下學期都是,
但代數拓樸的老師認為我上台陳述太含糊不清,
給我四十分了(大三下)(雖然我是課上唯一會算例子的人....),
還有機率因為想得太簡單,只看定理沒算EX的長長組合洪流XDDD,便給當掉了(大三上)
這樣便只有部份補助,便有積欠下來.
再加上某學期,是找不到(或給基金調度中)公告,又欠一學期.
到大四上便欠了60000多,
而到大四下,現在才知道大家的課業一日千里XDDD
我成績不變,但名次掉了十幾名,從7~8掉到去二十名,
該死的計價方式,比股市還要OPD CSQF HAPI (會的人,便知道的),
在大家的進步中,沒有太大進步的我XDDD
便只有住宿費XDD
雖然我是很想吐糟,這是那們子的追求卓越,
去做難的事人要受到拍屁股和餓肚子,
去吃肥柿子的,便是進步神速XDDD,要好好加薪XDD.
但再說下去便到政冶去了,我還是信守我的諾言,不談政冶好了XDDD.

講了那麼多,就是希望大家知道我不是一個太混的學生,
我沒有到的課,在大學加起手指腳指數得完.XDDDDDDDDDDDD

我不是因為沒有好好讀書而拿不到補助,
我是因為太好奇而受訓XDD.
而且我是僑生也有一個不太妙的地方,
我媽一直拿不到我的清寒身分證XDD,在香港的社會福利局說我不在香港不能給XDDDD,
他XX,我老媽都這個德性了,難道兒子是李先生嗎??
這只能算是tragedy,無力回天,因為我一直給台灣這邊說我為何拿不到!!!
天!!!!
我是連飯都吃不了的(在大三上,之後有一點收入因為....),
還要給你/妳清寒身分證XDDDD,這己經是喜感十足的場景了......

但再說下去便到政冶去了,我還是信守我的諾言,不談政冶好了XDDD.

所以很多錢我都申請不了,雖然我看到有人拿I PHONE的還是申請成功XDDDDD
而我是拿2007最新手機SONY WALKMAN
(還要是我哥看我要來台灣,把自己在用的送我,人生首台手機)的人,被認為資格不合XDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

 

所以我很需要工作機會,單對單,一對多教學,演講我會的數學,我都接!!!!

只要不去干擾我和給我所謂的進度問題,

你們可能覺得自己的小孩很天材,但有時不是資質的問題,

是基本功的問題,基本計算或定義都不懂,怎樣趕進度???

 

當然如果你/妳要直接捐助我,我是開心的,完全不會有所謂自尊的問題,

因為我會認為你/妳們是看得起我,認為我是有用的人.

至少是捐給我在想的數學^_^

 

 

http://www.its.caltech.edu/~matilde/course2010W.html

也許做夢是很沒"效用"的事,但如果沒有夢想又怎會有算術幾何,算術拓樸呢?
今天我很開心因為一個學姐來問我情況怎樣了,
在一輪會話之後,學姐很大氣地說幫我搞定台大首期學費的部份.
我真的沒想到在開始向大家請求幫助的頭幾天,便得到一個那麼大的進展.
雖然在幾小時之後,學姐告訴我還是調不出來,但那份心意真的打動了我,
如果人是需要幫忙時,真的會有人來幫忙,那怕是力量不多或不足,
有時我們的確會看到有錢人死守一分錢,那怕這一分錢不會佔他的財富的千分之一.
但可苦要看生命中的失落,而忽略豐盛的廣大呢?
測度是零的地方便不要太在意,這是真理!!
我會一直向大家請求幫忙的,因為我真的認知道]到自己是很無力,至少在金錢上面,
但合眾之力,我的大問題便成了小問題了.

有時,便是要做好自己的所有能做的,之後相信和去等,
看起很笨,但總比絕望而死好多了,
而且我也不是未有試過失望至死的感覺,不管是對我媽的問題,
我爸的無信,某個天秤座的SOPHIA.....
但我還是活下來了,而且還是笑著地搞數學.
現在只能拿出最大的努力和苦心去和成大溝通.

這時做夢便是最好的動力來源!!
雖然這個回答很不好,因為還是從功利去回答質問.
但今天便先原諒我吧.
這樣我可以介紹一個好有意思的東西了,可能有點老舊的新聞.
但未看過的人還是有的XDD,且讓我來賣弄一下新知巳吧.
看這,這真的很COOL.
有時候便是要試做一下白日夢和往不太聰明的路先走走看才看到機會.
希望這個CONCEPT真的能解放我們,我很期待什麼時候能拿來用!!

1. 在很久很久之前,王子被公主甩了,所以有很多很多時間讀數學.....
2. 在經歷一次家長反侮,一次試教成功(打好基本功)但不受續約,
   很多次的"謝謝"和"已經",
   一個小呆呆在機緣巧合之下看了這個, 便有勇有謀地要主動找學生了.
3. 因為失聯多年的父親說要匯錢過來繳學費(積欠90000元台灣錢XDD),
   但又尚未出現過在戶口中,加上好死不死推甄又真的上了台大數研所,
   我,大四下還在欠錢的廣台混血英國人(UK in HK),極想到台大去搞研究,
   所以狗急跳海,下海自己辛苦出賣頭腦去了,因當外場被說去王品比較好,洗碗被說太慢.
4. 因台南二中數學研究社找我當代課老師,在幾個無眠的下午中想出如何把近代數學,
   特別是碎形,動態系統和經典數學:數論,微積分,複幾何(廣義的),多項式,有理函數串在一個系列的四個演講中作簡介.
   很幸運的!?他們找到更"合"的代課老師,在接到電話後,心中除了想"oh,又跑掉了我的錢."
   還有欲罷不能的衝動,很想把東西講出來.
5. 認同Galois 所說的
6. 要給自己更多想數學的壓力和動力,而不是一直看別人和跟著別人走,
   更希望能有更多討論數學的機會
7. 想放個戶口出來,收各方的捐助

我是以自己喜歡的數學來亂講一通的,
所以你/妳們可能會奇怪,這小子為什麼講了那麼多明顯的事實,而沒有令人眼前一亮的東西.
這按我一點笨笨想法得出的結果,
因為我除了要講數學之外,還要讓人懂.
所以最好便是從最直覺的地方開始講,什麼的最直覺?
便是幾何,所以平面是跑不掉的.
而如果要談代數幾何或微分幾何更是要從方程和幾何之間的對應開始講XD
而如果要談複動力系統MILNOR 還是他,換看的  youtube
,便一定引進可視化免費廣告XDD的手法,這是唯一的工具=_=,
而且(複)平面也是主戰場^_^....
至於表現論呢..,一種對應和換個說法的思路吧?
目前還在想表現論是不是都是這種工作?

兩者都是在中學便學過的,所以希望從它們的對應,
開始讓你/ 妳比較接納現代數學所做的種種怪事.
先從最為人所知的幾何名句開始講,兩點成一直線,
更精實的說法是:給定任意兩個不同的點構成唯一的直線,
這個句子看來和方程(公式)完全無相干,
但正如人和人之間一樣,數學也有很多不注意看便看走眼的RELATION.

在妳/你記憶中最簡單的方程是?
對我而言是AX=C,在此X是未知量,A,C是某個固定數,
例子:3X=7,只要知道除法或分數的人都可以立刻告訢我答案了^-^
但在幾何上我們要再用比較難一點的方程才能表現我們剛才幾何名句:兩點成一直線
這次我們要用的是AX+BY+C=0,條件可以自己從剛才的例子類推,
請做一下這個EX,因為你/ 妳在看這文章的主要理由是要學一點數學,
而學數學便是要多動腦和多做適合自己的ex.
這次的方程比較難解一點,但你/ 妳用一下移項和除法是可以把X=.....用其他項表示出來的,
請加油動動手XD,

(因為我要上林牛教授的表現論了所以暫告一段落,有空再打)

晚上有空了,再開!!
先來回顧一下平面,特別是有XY坐標系的平面,看一下,或者這個.
其實點是可以用(X,Y)去表現的,請自己多動手一下,打個草圖也好,請請!!
現在我們說給定兩個點,例如(3,1)和(6,5),我們是可以找出唯一的直線.
這個幾何名句要如何化為方程呢?
那便是找系數了!!
可能現在還是不知道我在弄什麼,或賣什麼文章,那便看下去吧XDD

我們如果說(3,1)=(X,Y)是方程AX+BY+C=0的眾多解之一,
是在說一件事,把X代3進去,同時把Y代1進去.
進去哪????
SORRY,可能你/ 妳會有這個問句,是我的不對,
但按上文下意的提示,正如看正常散文.
是要代進去方程AX+BY+C中,
如果說(3,1)=(X,Y)是方程AX+BY+C=0的眾多解之一,
那便是A3+B1+C=0了.

在有了"方程的解"這個概念後我們便可以說下去了^_^,
給定兩個點,例如(3,1)和(6,5),我們是可以找出唯一的直線.
這句話便可以說明白了,
如果(3,1)和(6,5),是給定的點,在平面上!!
我們可以指定唯一的方桯AX+BY+C=0,以(3,1)和(6,5)為解~~~~(FIRST STEP+_+)
而且找出來的AX+BY+C=0是對應/表現為平面上的唯一一條直線,
經過(3,1)和(6,5)所表現的兩點!~~(FINISH!)

接下來便是把這幾下, 一句講完(在中學),
本能動作(理工學院),不想提(數學系)的這幾下講得更明白吧XDD

FOR FIRST STEP:
基本上有兩個未知數便要用兩個方程去解,
沒錯!!是有例外的但先別說,先後講線代或代數幾何才說吧,說吧?=_=
現在是要找出方程式AX+BY+C=0也就是要找出它的"DNA",A,B,C是也
那便只好去找一些已知的工具和情資來查案了,
把以(3,1)和(6,5)為解這句作一些解讀,
便可以知道我們會用接下這個兩個方程去解它的"DNA",A,B,C.
A3+B1+C=0和
A6+B5+C=0,
又到了動手時間了!!
移項和除法還是你/ 妳的好技法,請找出,A,B,C.
用你/妳的方法找出來吧.
可能你/妳的算法和我或他/她的算法不太一樣,但最後你/ 妳一定會得出相同的答案.
所以我便不打出來了XDD,其實我是不用算+_+.

如無意外你便會得到一個方程式,因為A,B,C都找出來而且怎麼算都是一樣的.
所以便是唯一的方程了+_+

so   FIRST STEP,done!!
Happy+_+.

接下便是完成最後一句找出來的AX+BY+C=0是對應/表現為平面上的唯一一條直線
這倒是很簡單,如果不是要一個proof的話~~
只要在所有"AX+BY+C=0"解找出來便可以了,用手描描看便明白我在講什麼東西.
因為你/妳會看出(請花一下時間),
這個給你用(3,1)和(6,5)為解找出來的方程"AX+BY+C=0"
是有很多解的,不止(3,1)和(6,5)而已.
把這些解全都點在你/妳的xy平面上再看一次這個.
你便會看出這些解會形成一條直線,其中(3,1)和(6,5)是在上面的+_+
所以
兩點成一直線
這一句便可用很方程或和公式的說法完全相對應起來,
指定唯一的方桯AX+BY+C=0,以(3,1)和(6,5)為解

fin

直接看吧tao

在做好的研究水平是別論,但單說學數學重點和唯一的難點便是看對書
在對的時間點看了有FEEL的書是最重要,
但這也要有足夠的運氣和一些能力,因為能力不足和基本功不夠,
有很多好書是看不明白在幹什麼的.
所以運氣便出現了,最初的數學老師,某位特別有"火"的老師等等..
而且如果"讀書"的技能不夠高等或沒有找對重點,好書也很難有效進入你/妳的大腦.
所以在此介紹它

1. 這個地方是我用來吃飯的,所以在這裏你/好的個人資料和喜好,可能會被我用來自你/妳推銷這世上最便宜的金頭腦,我,的教學和演講,雖然可能性是按我的心情起伏,但務必注意.
2. 因為我真的很需要錢和喜歡向大眾"播道"，"見證"，"分享",如果妳/你覺得不錯看或很有意思的小子,請有空時大力推廣,那怕是隔壁的老王.
3. 這裏我預不會以政治和財經等議題為主,所以它們應該不會出現,但由於我的腦很少按我的意願在運作,如果有所冒犯請略過,因為我總體來說是好人來的,請給我更多機會去犯更好的錯.
4. 請不要期待這裏有妳/你的功課解答;原因之一:因為我是到大學才開始努力解題目,所以會偏向系統化的想法,對於國/高中的腦筋急轉彎不太擅長,如果你/ 妳真的需要我和妳/你一起做題庫,我只好酌量收費,按厭惡程度和主動程度,彼此的.
5. 如果你/妳有什麼需要,請直接問,因為我是個體戶,很好喬.
6. 我會努力不要出現謬誤,無效論證,連gap我都想不要出現.但這是初出道的文章,而且是裏不是期刊和正式的網站,請多多包涵黃毛小子的午後夢話.也請各方好手多多指教,訂正
7. 最後我引一下已故大數學家華羅庚的一句名言:"我准備弄斧必到班門!"

 

 

我是一個快沒錢付學費而不能到台大讀研究所的大四學生.....
這有空再說,
今天是先來介紹這個好東西
可汗學院
正因為有了這個,我便不用負責,比較不討好而且難很多的,初等數學教育了
所以我可以安心的大談自己喜歡的,而不負責任地把自學基本功的大任交還給你們自己和他
我是一個不太好的模仿者,所以我不接近這位the great的形格.
我比較往個人,討論,演講化,因為目前還在等錢付學費所以會經常打廣告(為自己)
那便請多多見諒了